（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例题
定义新运算可以作为数学问题，如：
例1、x,y表示两个数,规定新运算"*"及"△"如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m,n,k均为自然数,已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
分析我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据"△"的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,1△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.
(1△2)*3=a*3,按"*"的定义:a*3=ma+3n,在只有求出m,n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)*3的值,我们就要先求出k,m,n的值.通过1*2=5可以求出m,n的值,通过(2*3)△4=64求出k的值.
解因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n=5.又因为m,n均为自然数,所以解出:
①当m=1,n=2时:
(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.
②当m=3,n=1时:
(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k
所以m=l,n=2,k=2.
(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.
例2、假设a★b=(a+b)÷b。求8★5。
分析与解：该题的新运算被定义为:a★b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。
8★5=（8+5）÷5=2.6
例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎（9◎2）
=6@9*2-9+2
=6◎7
=6×7-（6+7）
=42-13
=29
例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
求6Δ5。
分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。
6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070
例5.设p,q是两个数，规定：pΔq=3Χp-[p+q]χ2，求7Δ[2Δ4]。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“Δ”就是一种新的运算符号。
7Δ【2Δ4】
=7Δ【2×3-[2+4]÷2】
=7Δ3
=3Χ7-[7+3]χ2
=16
练习题
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
2.已知a○b表示a除以3的余数再乘以b，求13○4的值。
3.已知a▽b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（5▽3）（10▽6）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即m◇n=3m-2n。
（1）计算：（5◇4）◇3
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P，Q，规定P☆Q=（P×Q）÷4。
例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义：a△b=ab-3b，a○b=4a-b/a。计算：（4△3）△（2○b）。
9.已知：2◇3=2×3×4，4◇5=4×5×6×7×8，...求（4◇4）÷（3◇3）的值。
10.定义两种运算“※”和“△”如下：
a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，
a△b表示a，b两数中较大的数的2倍。
比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2=10。
计算：[(6※5)+(3△6)]÷[(5※7)-(6△2)]
11.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙4=4。试确定常数A，并计算：（5⊙6）×（3⊙2）。
12、设a，b表示两个不同的数,规定b⊙a=3a-2b,如果已知4⊙b=2.求b.
13,对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a○b。比如7○3=1，5○29=4，4○20=0。
（1）计算：1998○2000，（5○19）○19，5○（19○5）；
（2）已知11○x=4，x小于20，求x的值。
14,对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；
（2）已知f（g（x））=8，求x的值。
以上就是极客数学帮为大家整理的有关于定义新运算的全部内容了。返回搜狐，查看更多